Corso di storia della scienza: Fermi 1901

Enrico Fermi 1901

Enrico Fermi: intuizioni, equazioni e impatto

Enrico Fermi (29 settembre 1901 – 28 novembre 1954) fu un fisico che ha inciso profondamente sulla meccanica quantistica, la statistica dei fermioni, la fisica nucleare e le tecniche sperimentali che portarono alla realizzazione della prima reazione nucleare controllata. Qui esponiamo — con chiarezza e con le formule essenziali — le sue idee fondamentali e come si traducono in leggi fisiche utilizzabili.

1. Fermioni e statistica Fermi–Dirac

Le particelle con spin semi-intero (e.g. elettroni, protoni, neutroni) obbediscono al principio di esclusione di Pauli: due fermioni identici non possono occupare lo stesso stato quantico. Questo porta alla statistica di Fermi–Dirac, che dà la probabilità di occupazione di uno stato di energia a temperatura:

$$ f(E) \;=\; \frac{1}{e^{(E-\mu)/(k_B T)} + 1} $$

• k_B è la costante di Boltzmann.
• μ è il potenziale chimico (a T = 0, μ = E_F, energia di Fermi).
• Al limite T → 0: f(E) = 1 se E < E_F, f(E) = 0 se E > E_F.

Densità degli stati (elettroni liberi, 3D):

$$ g(E) \;=\; \frac{V}{2\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{E}, \qquad \frac{g(E)}{V} \;=\; \frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{E}. $$

Relazione densità → energia di Fermi. Al T=0 il numero di particelle (per volume) n è

$$ n \;=\; \int_0^{E_F} \frac{g(E)}{V}\, dE \;=\; \frac{1}{3\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2} E_F^{3/2}. $$

Risolvendo per E_F:

$$ \boxed{E_F \;=\; \frac{\hbar^2}{2m}\,(3\pi^2 n)^{2/3}} $$

Questa semplice formula è la chiave per capire molte proprietà dei metalli e dei corpi degeneri (stella di neutroni, nane bianche, ecc.).

2. Energia e pressione di degenerazione

$$ \frac{\mathcal{E}_{\text{tot}}}{V} \;=\; \int_0^{E_F} E\,\frac{g(E)}{V}\,dE \;=\; \frac{3}{5} n E_F. $$

Da questa si ottiene la pressione di degenerazione (per un gas non relativistico):

$$ P \;=\; \frac{2}{5}n E_F \;=\; \frac{\hbar^2}{5m}(3\pi^2)^{2/3}n^{5/3}. $$

Questa pressione è indipendente dalla temperatura a bassa T: è la pressione che impedisce agli elettroni (o neutroni) degeneri di collassare — fondamentale, ad esempio, per la stabilità delle nane bianche.

3. Fermi’s golden rule — regola d’oro per le transizioni

$$ \boxed{W_{i\to f} \;=\; \frac{2\pi}{\hbar}\; |\langle f | V | i \rangle|^2 \;\rho(E_f)} $$

Questa formula è la base quantitativa per calcolare tassi di decadimento (es. decadimento beta), sezioni d’urto, e molti processi quantistici.

4. Teoria del decadimento β (Fermi, 1933–34)

$$ \mathcal{H}_{\text{int}} \sim G \;(\bar\psi_p \,\Gamma\, \psi_n)\;(\bar\psi_e \,\Gamma'\, \psi_\nu)+\text{h.c.} $$

Applicando la regola d’oro, il rate del decadimento segue (in termini di ordine di grandezza) la dipendenza dalla fase spaziale: per un decadimento con energia disponibile Q,

$$ \Gamma \;\propto\; G^2\, Q^5 $$

5. Reazione a catena nucleare e concetto di criticità

Per il fattore di riproduzione effective k:

• k > 1: sovra-critica
• k = 1: critica
• k < 1: subcritica

$$ N(t) \;=\; N(0)\, e^{(k-1)t/\Lambda} $$

Quattro-fattori per reattori termici:

$$ k \;=\; \varepsilon\, p\, f\, \eta $$

Equazione di diffusione (mono-gruppo, stazionaria):

$$ - D \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) + \Sigma_a \phi(\mathbf{r}) = \nu \Sigma_f \,\phi(\mathbf{r}) $$

6. Alcune applicazioni pratiche e impatto

• Solidi e conduttività: la statistica di Fermi-Dirac è la base per capire il comportamento elettronico nei metalli.
• Astrofisica: la pressione di degenerazione controlla la struttura di corpi compatti.
• Fisica nucleare: concetti di criticità e bilancio neutronico fondamentali per i reattori.
• Fisica delle particelle: la teoria di Fermi sul decadimento β aprì la strada alla teoria elettrodebole.

Conclusione

Fermi è un esempio di scienziato che ha saputo coniugare intuizione sperimentale e rigore teorico. Le formule qui presentate sono strumenti che spiegano fenomeni reali: conduzione, stabilità stellare, decadimenti nucleari e criticità di reattori.

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Grafici e strumenti interattivi

Se il gadget script (MathJax + script canvas) è stato aggiunto, i seguenti controlli risulteranno funzionanti.

Funzione di Fermi

k_BT / E_F: 0.02

Densità degli stati (g(E) ∝ √E)

Se non vuoi usare gadget/script, posso preparare versioni immagine statiche delle formule e dei grafici che non richiedono scrip